排気系の回路網モデル入門

第15回の最後で、排気系「全体」の設計検討には0D/1Dの回路網モデルが最も費用対効果が高い、と述べました。この記事ではその中身を具体化します。ポンプ・配管・チャンバーを電気回路の要素に対応させると、排気系の定常圧力分布も過渡挙動も、回路解析と同じ手順で解けるようになります。連載で積み上げてきた式（第3回〜第5回）が、そのまま回路の「素子値」になります。

電気回路とのアナロジー

真空排気系と電気回路の対応は次のとおりです。

真空排気系	記号・単位	電気回路での対応
圧力	$P$ [Pa]	電圧 $V$
スループット（ガス流量）	$Q$ [Pa·m³/s]	電流 $I$
コンダクタンス	$C$ [m³/s]	コンダクタンス（抵抗の逆数）
チャンバー容積	$V$ [m³]	静電容量（グランドとの間のコンデンサ）
アウトガス・リーク・ガス導入	$Q_{\mathrm{gas}}$	電流源
ポンプ（排気速度 $S$ ）	$S$ [m³/s]	グランド（ $P=0$ ）へつながるコンダクタンス $S$

配管を流れるスループットが $Q = C\,(P_1 - P_2)$ と書けること（第3回）が、オームの法則 $I = G\,(V_1 - V_2)$ と同型である——これがアナロジーの根拠です。ポンプは「入ってきた気体を圧力ゼロの世界へ流すコンダクタンス $S$ 」とみなせます（ $Q_{\mathrm{pump}} = S \cdot P$ ）。

定常解析：節点方程式

回路と同じく、各ノード（チャンバーや配管の合流点）で流量の収支を取るのが基本です。ノード $i$ について

\sum_j C_{ij}\,(P_j - P_i) + Q_i = 0

（ $C_{ij}$ : ノード間のコンダクタンス、 $Q_i$ : そのノードへのガス発生量）。これはキルヒホッフの電流則そのものです。

重要なのは、分子流ではコンダクタンスが圧力によらないため、この連立方程式が線形になることです。ノードが何個あっても、行列を1回解けば全ノードの圧力が出ます。直列合成 $1/C = \sum 1/C_i$ や並列合成 $C = \sum C_i$ （第3回）、実効排気速度 $1/S_{\mathrm{eff}} = 1/S + 1/C$ （第5回）は、この節点方程式を2〜3ノードの場合に手で解いた結果にすぎません。

過渡解析：チャンバーはコンデンサ

チャンバーの圧力変化は、容積 $V$ への気体の出入りの収支です。

V\,\frac{dP}{dt} = Q_{\mathrm{gas}} - S_{\mathrm{eff}}\,P

これはRC回路の充放電と同じ1次遅れ系で、解は

P(t) = P_{\mathrm{ult}} + \left(P_0 - P_{\mathrm{ult}}\right)e^{-t/\tau}, \qquad \tau = \frac{V}{S_{\mathrm{eff}}}, \qquad P_{\mathrm{ult}} = \frac{Q_{\mathrm{gas}}}{S_{\mathrm{eff}}}

となります。設計で使う2つの量がここから直接読めます。

時定数 $\tau = V/S_{\mathrm{eff}}$ — 排気の速さ。1桁下げるのに $\tau \ln 10 \approx 2.3\tau$ かかる
到達圧 $P_{\mathrm{ult}} = Q_{\mathrm{gas}}/S_{\mathrm{eff}}$ — アウトガスと実効排気速度の綱引きの落としどころ（第10回）

計算例：1ノードの高真空排気

数字を入れて一巡してみます。次の系を考えます（ガスはN₂、293.15 K、 $\bar{v} = 471$ m/s）。

チャンバー: 容積 $V = 0.1$ m³、内表面積 $A = 1$ m²、アウトガス $q = 1\times10^{-5}$ Pa·m³/(s·m²)
配管: 内径 $D = 0.1$ m、長さ $l = 1$ m の円管
ポンプ: ターボ分子ポンプ $S = 0.3$ m³/s（300 L/s）

手順1 — 配管の分子流コンダクタンス（第4回の式、または計算ツール）

C = \frac{\pi \bar{v} D^3}{12\,l} = \frac{\pi \times 471 \times 0.1^3}{12 \times 1} = 0.123\ \mathrm{m^3/s}\ (123\ \mathrm{L/s})

手順2 — 実効排気速度

S_{\mathrm{eff}} = \left(\frac{1}{0.3} + \frac{1}{0.123}\right)^{-1} = 0.087\ \mathrm{m^3/s}\ (87\ \mathrm{L/s})

300 L/sのポンプを買っても、この配管ではチャンバーから見ると87 L/s。配管がボトルネックです。

手順3 — 到達圧と時定数

P_{\mathrm{ult}} = \frac{Q}{S_{\mathrm{eff}}} = \frac{1\times10^{-5} \times 1}{0.087} = 1.1\times10^{-4}\ \mathrm{Pa}, \qquad \tau = \frac{0.1}{0.087} = 1.1\ \mathrm{s}

手順4 — 排気時間 — $10^{-2}$ Pa（この系では $K_n \approx 6.6$ でほぼ分子流）から到達圧の2倍まで下げるのに

t = \tau \ln\frac{P_0 - P_{\mathrm{ult}}}{P_{\mathrm{ult}}} \approx 1.1 \times \ln(86) \approx 5\ \mathrm{s}

容積の排気自体は数秒で終わり、そこから先は $P_{\mathrm{ult}}$ 付近で頭打ちになる——「到達圧はアウトガスで決まり、排気時間は $V/S_{\mathrm{eff}}$ で決まる」という高真空排気の定石が、そのまま式に現れています。実際にはアウトガス $q$ 自体が時間とともに減衰するため（第12回）、長時間側は $q(t)$ を与えた数値積分になります。

非線形になる場合

分子流の外に出ると、素子値が一定でなくなります。

層流領域: $C \propto \bar{P}$ （平均圧力に比例。第4回）。粗引き中はコンダクタンスが刻々と変わる
ポンプ特性: 排気速度 $S$ は圧力依存（第9回）。ロータリーポンプの立ち上がり、ターボ分子ポンプの高圧側の失速など
中間流: Knudsenの補間式などで $C(P)$ を与える（第2回）

このため大気圧からの粗引きシミュレーションは、 $C(P)$ ・ $S(P)$ を各時間ステップで更新しながら $V\,dP/dt$ 式を数値積分します（前進オイラー法で十分なことが多いですが、時定数が短い局面では刻み幅に注意）。それでも1本のODEを解くだけなので、3D CAEに比べれば計算は一瞬です。パラメータを振って配管径やポンプ容量を決める使い方に向いています。

分子流の直列合成の落とし穴

回路網モデルで最も誤差を生みやすいのが、分子流での直列合成です。 $1/C = \sum 1/C_i$ は「各要素の入口で分子の方向分布が余弦則に戻る」ことを暗黙に仮定していますが、実際には上流の管を抜けてきた分子は軸方向に偏っています（ビーミング効果）。要素を細かく刻んで直列合成すると、この仮定違反が累積してコンダクタンスを過小評価します。

対策は、透過確率 $K$ （第15回）ベースの合成則を使うことです。同一断面の要素の直列には Oatleyの式

\frac{1 - K_{\mathrm{tot}}}{K_{\mathrm{tot}}} = \sum_i \frac{1 - K_i}{K_i}

が使えます。効果を数字で見ると、 $L/D = 1$ の円管（ $K = 0.514$ ）を2本つないだ場合:

方法	$K_{\mathrm{tot}}$
単純直列 $1/K = \sum 1/K_i$	0.257
Oatleyの式	0.346
厳密値（ $L/D = 2$ の円管のClausing係数）	≈ 0.357

単純直列は3割近く過小評価するのに対し、Oatleyの式なら誤差3%程度に収まります。管路の途中にオリフィスやバルブが挟まる系では、この差が排気時間の見積もりに直結します。エルボや複雑形状の $K$ は、第15回のTPMC（Molflow+）で一度求めて係数化すれば、回路網に組み込めます。

サンプルExcelシート

この記事の計算を、そのまま数式入りのExcelシートにまとめました。

vacuum-network-model.xlsx をダウンロード（約20 KB）

シート	内容
定常計算	ガス条件（ $\bar{v}$ の計算）→ 配管コンダクタンス → 実効排気速度 → 到達圧・時定数・排気時間。本文の計算例と同じ値が入っています
過渡解析	前進オイラー法による粗引きカーブ（ $t = 0$ 〜 $10$ s、200ステップ）。解析解の列と並んでいるので、刻み幅 dt を粗くすると数値解がずれていく様子も確認できます
直列合成	Oatley式と単純直列の比較、透過確率からコンダクタンスへの換算

黄色のセルが入力欄です。配管径・ポンプ排気速度・アウトガス条件を書き換えると、到達圧から粗引きカーブまで全シートが連動して更新されるので、そのままパラメータスタディに使えます。数値解と解析解の列を折れ線グラフ（対数軸推奨）にすれば、粗引きカーブが一目で見えます。

実装のヒント

表計算で始める: 定常の2〜3ノードなら合成則の電卓計算、過渡もオイラー法なら1列1変数で組める。上のサンプルシートが雛形。各素子の $C$ は計算ツールで
スクリプト化: ノードが増えたら、節点方程式を行列 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{Q}$ の形にして線形ソルバーで解く（分子流なら線形なのでライブラリ任せで済む）
SPICEでも解ける: アナロジーが厳密なので、回路シミュレータに抵抗（ $1/C$ ）・コンデンサ（ $V$ ）・電流源（ $Q$ ）として入力すれば過渡解析までそのまま動く
検証を忘れない: 2ノードに縮約した手計算（本記事の計算例のような）と突き合わせてからノードを増やす

まとめ

排気系は電気回路と同型: 圧力=電圧、スループット=電流、コンダクタンス=コンダクタンス、容積=静電容量、ポンプ=グランドへの $S$
定常は節点方程式（分子流なら線形連立方程式）、過渡は $V\,dP/dt = Q - S_{\mathrm{eff}}P$ の1次遅れ系。時定数 $\tau = V/S_{\mathrm{eff}}$ と到達圧 $P_{\mathrm{ult}} = Q/S_{\mathrm{eff}}$ が設計の要
層流・中間流・ポンプ特性で素子値が圧力依存になるが、ODEの数値積分で対応できる
分子流の直列合成は単純な $1/C$ 加算だとビーミングで過小評価。透過確率＋Oatleyの式か、TPMCで求めた $K$ を使う

第13回の設計演習は、この回路網モデルを手計算で一巡したものです。あの計算をスクリプトに落とせば、配管径・ポンプ容量・アウトガス条件のパラメータスタディが数秒で回る「自分専用の排気系シミュレータ」になります。